Петровские чтения

Лекционные заметки по теоретической и
математической физике
(Под ред. А.В. Аминовой)

Издание осуществляется при финансовой поддержке:
Министерства промышленности, науки и технологий Российской Федерации
Российского фонда фундаментальных исследований
Федеральной целевой программы "Интеграция"
Фонда НИОКР Республики Татарстан
Министерства по делам молодежи и спорту Республики Татарстан

Книги можно заказать по следующему адресу:
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, КГУ, физический факультет, каф. теории относительности и гравитации, Н. Р. Шурыгиной
Телефон: (8432) 315586
Факс: (8432) 380994
E-mail: nailya.shurygina@ksu.ru

Серия "Лекционные заметки по теоретической и математической физике" посвящена изложению новейших достижений фундаментальной физики в форме, доступной для студентов, аспирантов и широкого круга специалистов.

В этой серии публикуются лекции, прочитанные ведущими отечественными и зарубежными учеными на летних школах по современным проблемам теоретической и математической физики, проходящих ежегодно в Казани в рамках Петровских чтений.

Т. 1, ч. 1. - Изд. БОГ, Казань. - 1996 г. -255 с.

Ключевые слова: квазиклассическое приближение, квантовая гравитация, аналитическое продолжение, черные дыры

Первый том "Лекционных заметок", посвященный памяти основателя кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета проф. А. З. Петрова, состоит из двух частей и содержит изложение лекций, прочитанных ведущими отечественными и зарубежными учеными на летней школе "Волга - 7'95" (VII Петровские чтения) по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 22 июня -- 2 июля 1995 г.).

Содержание части 1 тома 1:

Глава 1.
А. В. Аминова.
Алексей Зиновьевич Петров.

Глава 2.
В. Г. Багров, В. В. Белов, А. Ю. Трифонов.
Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шpедингера.

Глава 3.
Д. Р. Брилл.
Аспекты аналитичности.

Глава 4.
И. Л. Бухбиндер.
Введение в пертурбативную эйнштейновскую квантовую гравитацию.

Т. 1, ч. 2. - Изд. БОГ, Казань. - 1996 г. -С. 256 - 240.

Ключевые слова: 2+1 гравитация, математические методы квантовой теории, уравнения Эйнштейна, непертурбативная квантовая теория гравитации, неприводимые представления ортогональной группы, тахионы, монополи

Содержание части 2 тома 1:

Глава 4.
Веллинг М.
Некоторые подходы к 2+1-мерной гравитации, связанной с точечными частицами.

Глава 5.
Краснов К. В.
Непертурбативная квантовая теория гравитации и петлевое представление.

Глава 6.
Садов С. Ю.
Объем труб, его вариация и уравнение Эйнштейна.

Глава 7.
Белокуров В. В., Соловьев Ю. П.
Элементы математического аппарата квантовой теории поля.

Глава 8.
Степанов С. Е.
Неприводимые представления ортогональной группы и геометрическая теория тяготения.

Глава 9.
Стейар Ж. Ж.
Пространство-время и время-пространство. Тахионы и монополи.

Международная летняя школа "Волга - 7'95". Фоторепортаж Т. В. Кропотовой.

Т. 2, ч. 1. - Изд. Хэтер, Казань. - 1999 г. - 293 с.

Ключевые слова: лоренцево парасасакиево многообразие, точные непертурбативные решения, квантовая теория, интегрируемые системы, многообразие Калуцы-Клейна, гироскопические силы

Реферат:
Серия "Лекционные заметки по теоретической и математической физике" посвящена изложению новейших достижений фундаментальной физики в форме, доступной для студентов, аспирантов и широкого круга специалистов. Второй том "Лекционных заметок" состоит из двух частей и содержит изложение лекций, прочитанных ведущими отечественными и зарубежными учеными на летней школе "Волга - 10'98" (X Петровские чтения) по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 22 июня - 2 июля 1998 г.).

Содержание части 1 тома 2:

Глава 1.
U. C. De, Koji Matsumoto, A. A. Shaikh.
On Lorentzian Para Sasakian Manifolds.

{1.1}Almost paracontact structure{7}

{1.2}Associated Lorentzian metric{8}

{1.3}Lorentzian paracontact manifolds{10}

{1.4}Sectional curvature of $LP$-Sasakian manifolds{13}

{1.5} Conformally flat $LP$-Sasakian manifolds{16}

{1.6}{LP}-Sasakian manifolds satisfying $R(X,Y)\cdot C = 0${19}

{1.7}Conformally recurrent {LP}-Sasakian manifolds{21}

Глава 2.
А. В. Маршаков.
Точные непертурбативные решения квантовой теории и интегрируемые системы.
{Введение}{25}

{2.0.1}Основные понятия{37}

{2.0.2}Содержание работы{46}

{2.1}Точные результаты теории струн в поляковском подходе{52}

{2.1.1}2D гравитация в формализме конформных теорий{52}

{2.1.2}W-гравитация и интегрируемые системы типа Кадомцева--Петвиашвили{61}

{2.1.3}Алгебры наблюдаемых в 2D- и W- гравитации{70}

{2.1.4}Бозонизация третьей пуассоновой структуры уравнения Кортевега--де--Фриза{83}

{2.1.5}Основные результаты{87}

{2.2}Непертурбативная 2D квантовая гравитация и струнные решения интегрируемых систем{88}

{2.2.1}Непертурбативная формулировка 2D квантовой гравитации: решение условий Вирасоро{91}

{2.2.2}Эффективное действие 2D квантовой гравитации{103}

{2.2.3}Топологическая 2D гравитация как явное решение вирасоровских условий{106}

{2.2.4}Основные результаты{114}

{2.3}Точные решения топологических струнных моделей{114}

{2.3.1}Интегрируемость топологических струнных моделей{115}

{2.3.2}Точные решения топологических $(p,1)$ моделей и их деформации в теории типа Гинзбурга--Ландау{124}

{2.3.3}Нетопологические решения и $pq$-дуальность{130}

{2.3.4}Струнная теория поля и предел $c \to 1${136}

{2.3.5}Основные результаты{145}

{2.4}Непертурбативные результаты в 4D N=2 суперсимметричных калибровочных теориях: комплексные кривые и интегрируемые системы{146}

{2.4.1}N=2 суперсимметричная глюодинамика и периодическая цепочка Тоды{148}

{2.4.2}Эллиптическая деформация представления $N_c\times N_c$: модель Калоджеро--Мозера и взаимодействие с присоединенной материей{152}

{2.4.3}От Тоды к спиновым цепочкам и суперсимметричной КХД: случай $N_f < 2N_c$ и $XXX$ спиновые модели {156}

{2.4.4}N$_f$ = 2N$_c$: спиновые цепочки общего вида и алгебра Склянина{161}

{2.4.5}Основные результаты{171}

{2.5}Производящий 1-дифференциал: симплектическая структура интегрируемой системы и иерархия уравнений Уизема{171}

{2.5.1}Симплектическая структура конечнозонных решений{172}

{2.5.2}Иерархии уравнения Уизема{179}

{2.5.3}Сферические решения и топологическая гравитация{182}

{2.5.4}Эллиптические кривые и решения Гуревича--Питаевского{184}

{2.5.5}Основные результаты{187}

{2.6}Препотенциал непертурбативных решений{188}

{2.6.1}Уравнения ассоциативности{189}

{2.6.2}Доказательство уравнений ассоциативности{194}

{2.6.3}Явные примеры{198}

{2.6.4}Приложение{205}

{2.6.5}Основные результаты{207}

{2.7}Заключение{207}

{3}Многообразия Калуцы--Клейна и динамика систем с гироскопическими силами{229}

Глава 3.
Е. И. Яковлев.
Многообразия Калуцы-Клейна и динамика систем с гироскопическими силами.
{Введение}{229}

{3.1}Гироскопические системы и многозначные функционалы{230}

{3.1.1}Гироскопические системы{230}

{3.1.2}Функционал действия{231}

{3.1.3}Экстремали и уравнения движения{232}

{3.2}Расслоение, слоение и связности, ассоциированные с многозначными функционалами{234}

{3.2.1}Почти главное $G$-расслоение и его $G$-связность{234}

{3.2.2}Риманово слоение и его связность Эресмана{235}

{3.2.3}Горизонтальный лифт относительно связности ${H}$ слоения ${F}${237}

{3.3}Теорема редукции{244}

{3.3.1}Горизонтальный лифт относительно ${H}$ и метрика Калуцы--Клейна{244}

{3.3.2}Экстремали многозначных функционалов и геодезические многообразия Калуцы--Клейна{245}

{3.4}Глобальные свойства многообразий Калуцы--Клейна{249}

{3.4.1}Мотивировка исследования{249}

{3.4.2}Критерий полноты в римановом случае{250}

{3.4.3}Глобально гиперболические лоренцевы многообразия Калуцы--Клейна{251}

{3.5}Теоремы существования экстремалей{255}

{3.5.1}Решение редуцированной задачи для натуральной системы{255}

{3.5.2}Теорема существования экстремалей для натуральной системы с гироскопическими силами{261}

{3.5.3}Теорема существования экстремалей для системы релятивистского типа{265}

{3.6}Движения заряженной пробной частицы по поверхности в постоянном магнитном поле{273}

{3.6.1}Постановка задачи. Динамика в простых случаях{273}

{3.6.2}Исследование особого случая{274}

{3.7}Движения заряженной пробной частицы в гравитационных и электромагнитных полях{277}

{3.7.1}Общие конструкции{277}

{3.7.2}Динамика в пространствах Робертсона--Уокера{279}

{3.7.3}Динамика во внешнем пространстве-времени Райсснера--Нордстрема{280}

Т. 2, ч. 2. - Изд. Хэтер, Казань. - 2000 г. - 291 с.

Содержание части 2 тома 2:

Глава 1.
В. Г. Багров, Б. Ф. Самсонов.
Преобразование Дарбу и точно решаемые задачи в квантовой механике
{Введение}{10}

{1.1}Преобразование Дарбу стационарного уравнения Шредингера{13}

{1.2}Цепочки преобразований{16}

{1.3}Преобразование гильбертовых пространств{18}

{1.4}Изоспектральные гамильтонианы. Интегральные преобразования{23}

{1.5}Непрерывный спектр{26}

{1.6}Потенциалы солитонного происхождения{31}

{1.7}Потенциалы с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами{39}

{1.8}Эффективный кулоновский потенциал{59}

{1.9}Потенциал Морса{65}

{1.10}Сингулярный осциллятор {67}

{1.11}Форм-инвариантные потенциалы{72}

{1.12}Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Шредингера{83}

{1.13}Преобразование первого порядка {84}

{1.14}Потенциал общего вида, допускающий преобразование Дарбу {87}

{1.15}Преобразования высших порядков {89}

{1.16}Суперсимметрия и парасуперсимметрия нестационарного уравнения Шредингера {94}
{Литература}{100}

Глава 2.
В. А. Березин.
Квантовые черные дыры
{Введение}{119}

{2.1}Классическая теория{124}

{2.1.1}Сферически симметричная гравитация{124}

{2.1.2}Пространство--время Шварцшильда, пространство-время Рейсснера--Нордстрема{127}

{2.1.3}Самогравитирующие тонкие оболочки{132}

{2.1.4}Черные дыры и кротовые норы{136}

{2.1.5}Термодинамика черных дыр{139}

{2.2}Наивное квантование{144}

{2.2.1}Классический гамильтониан и уравнение Шредингера в конечных разностях{144}

{2.2.2}Решение уравнения Шредингера в конечных разностях{147}

{2.2.3}Дискретный спектр масс. Основное состояние{153}

{2.2.4}Квантовые черные дыры и излучение Хокинга{161}

{2.2.5}Другой подход: квантование квадратного корня{165}

{2.3}Квантовая геометродинамика для черных дыр и кротовых нор{167}

{2.3.1}Канонический формализм для сферической гравитации с тонкими оболочками{167}

{2.3.2}Переменные Кухажа и гамильтонова связь на оболочке{171}

{2.3.3}Квантование{177}

{2.3.4}Большие черные дыры{179}

{2.3.5}Энтропия и квантовые волосы{185}

{2.3.6}Краткое обсуждение{187}
{Приложение 1.} Рисунки{190}

Глава 3.
M. Craioveanu.
Transversal Heat Equation Method for Riemannian Foliation

{3.1}Generalities on foliations{194}

{3.2}The basic complex associated to a foliation{197}

{3.3}The basic heat kernel{200}

{3.4}The asymptotic expansion of the trace of the heat kernel on Riemannian manifolds{206}

{3.5}Traces of the basic heat kernel on functions on a Riemannian foliation{209}
{Bibliography}{216}

Глава 4.
G. S. Hall.
Curvature and Physics
{Introduction}{223}

{4.1}The Lorentz Group and Lorentz Algebra{224}

{4.2}Holonomy Groups{226}

{4.3}Metrics and Connections{227}

{4.4}Curvature, Connection and Metric{229}

{4.5}The Weyl Tensor and Petrov Types{233}

{4.6}The Energy-Momentum Weyl and Metric Tensors{236}

{4.7}The Sectional Curvature Function{238}

?{4.8}Symmetries in General Relativity{239}

{4.9}Acknowledgements{241}
{Bibliography}{242}

Глава 5.
Степанов С. Е. Техника Бохнера для физиков. Векторные поля
{Введение}{245}

{5.1}Пространство-время{249}

{5.2}Теорема Стокса для мнимоединичного векторного поля{253}
{5.3}Киллингово и гармоническое векторные поля ``в целом'' на лоренцевом многообразии{258}

{5.4}Техника Бохнера в релятивистской гидродинамике{263}

{5.5}Техника Бохнера и проблема существования замкнутой Вселенной{268}
{Литература}{275}

X Петровские чтения, Международная летняя школа ``Волга -- 10'98'', 22 июня - 2 июля 1998 года, Казань, пос. Боровое Матюшино. (Фоторепортаж)

Т. 3, ч. 1. - Изд. Хэтер, Казань. - 1999 г. - 333 с.

Третий том "Лекционных заметок" состоит из двух частей и содержит изложение лекций, прочитанных ведущими отечественными и зарубежными учеными на летних школах "Волга--11'99" (Казань, 5--16 июля 1999 г.) и "Волга--12'2000" (Казань, 22 июня -- 3 июля 2000 г.) по современным проблемам теоретической и математической физики (XI, XII Петровские чтения).

Содержание части 1 тома 3:

А. Д. Миронов
$\tau $--функции и матричные модели

Введение{11}
{1.0.1}{Общие замечания}{11}
{1.0.2}{Физическая гравитация}{22}
{1.0.2.1}{Теория Лиувилля}{22}
{Классическая теория Лиувилля.}{22}
{Квантовая теория Лиувилля.}{23}
{Взгляд с точки зрения теории Синус--Гордона.}{25}
{1.0.2.2}{Лиувиллевская гравитация}{26}
{Подход Полякова--КПЗ--ДДК.}{26}
{Одевание операторов.}{28}
{Струнная восприимчивость.}{31}
{Веса операторов.}{33}
{1.0.3}{Содержание и мотивация}{34}
{Дискретные матричные модели.}{35}
{Переход к непрерывному пределу в матричных моделях.}{41}
{Непрерывные матричные модели.}{44}
{1.1}Дискретные матричные модели}{50}
{1.1.1}{Эрмитова одноматричная модель}{50}
{1.1.1.1}{Уравнение цепочки Тоды}{51}
{1.1.1.2}{Иерархия цепочки Тоды}{54}
{1.1.1.3}{Детерминантное представление}{56}
{1.1.1.4}{Условия Вирасоро и тождества Уорда}{57}
{1.1.2}{Эрмитовы многоматричные модели}{60}
{1.1.2.1}{Интегрируемые свойства многоматричных моделей}{62}
{1.1.2.2}{Тождества Уорда в многоматричных моделях}{64}
{1.1.2.3}{Структура и свойства $W$-алгебры}{69}
{1.1.3}{Конформные матричные модели}{73}
{1.1.3.1}{Конформное представление одноматричной модели}{73}
{1.1.3.2}{Тождества Уорда в многоматричных моделях}{76}
{1.1.3.3}{Некоторые примеры}{78}
{1.1.3.4}{Детерминантное представление}{82}
{1.1.4}{Унитарная одноматричная модель}{85}
{1.1.4.1}{Интегрируемые свойства модели}{86}
{1.1.4.2}{Редукция из 2РТ и детерминантное представление}{89}
{1.1.4.3}{Двухкомпонентные иерархии и симметричная унитарная модель}{91}
{1.1.4.4}{Алгебра Вирасоро в унитарной модели}{95}
{1.1.5}{Общие свойства дискретных матричных моделей}{98}
{1.1.5.1}{Многообразие матричных моделей и их редукций}{98}
{1.1.5.2}{Фермионное представление интегрируемых иерархий}{101}
{1.1.5.3}{Фермионное представление полубесконечных иерархий}{106}
{1.1.5.4}{Фермионное представление конформных матричных моделей}{111}
{1.2}{Переход к непрерывному пределу в матричных моделях}{118}
{1.2.1}{Переход к непрерывному пределу в цепочке Тоды}{118}
{1.2.2}{Эрмитова одноматричная модель}{121}
{1.2.2.1}{Основные результаты}{121}
{1.2.2.2}{Редуцированная эрмитова и комплексная матричные модели}{124}
{1.2.2.3}{Непрерывный предел и замена времен}{127}
{1.2.2.4}{Переход от дискретной к непрерывной алгебре Вирасоро}{133}
{1.2.2.5}{От комплексной к редуцированной эрмитовой модели}{136}
{1.2.2.6}{Инвариантная формулировка двойного скейлингового предела}{139}
{1.2.3}{Конформные многоматричные модели}{142}
{1.2.3.1}{О выборе подходящего базиса}{142}
{1.2.3.2}{Замена времен}{144}
{1.2.3.3}{Непрерывный предел в двухматричной модели}{148}
{Скалярный формализм.}{148}
{Непрерывный предел алгебры Вирасоро.}{148}
{Условие редукции.}{150}
{Непрерывный предел генераторов со спином 3.}{151}
{1.2.3.4}{Непрерывный предел общей $W^{(q)}$--алгебры}{153}
{1.3}{Непрерывные матричные модели}{155}
{1.3.1}{Интегрируемые теории в переменных Мивы}{156}
{1.3.1.1}{$\tau $--функция в переменных Мивы}{156}
{1.3.1.2}{Уравнение Хироты}{163}
{1.3.1.3}{Связь между $\tau $--функциями в разных параметризациях}{166}
{1.3.2}{Сингулярные $\tau $--функции}{171}
{1.3.2.1}{Формула Ициксона--Зюбера и характеры}{171}
{1.3.2.2}{Характеры и полиномы Шура}{173}
{1.3.2.3}{Сингулярные $\tau $--функции в переменных Мивы}{176}
{1.3.2.4}{Разложение $\tau $--функций по характерам}{179}
{1.3.3}{Обобщенная модель Концевича}{182}
{1.3.3.1}{Интегрируемость ОМК}{185}
{Вычисление числителя в (3.3.2).}{185}
{Вычисление знаменателя в (3.3.2).}{186}
{Оператор Каца-Шварца.}{188}
{1.3.3.2}{Редукции}{189}
{1.3.3.3}{${L}_{-1}$-условие и струнное уравнение}{191}
{1.3.3.4}{ОМК и эквивалентные иерархии}{199}
{1.3.3.5}{ОМК в рамках 2РТ}{204}
{1.3.4}{Дискретные матричные модели в рамках ОМК}{209}
{1.3.4.1}{Общее описание}{209}
{1.3.4.2}{Дискретная одноматричная модель}{213}
{1.3.4.3}{От дискретной одноматричной модели к модели Концевича}{218}
{1.3.5}{Две фазы ОМК и двумерные калибровочные теории}{221}
{1.3.5.1}{Модель Казакова--Мигдала и двумерная теория Янга--Миллса}{221}
{1.3.5.2}{Интегрируемость в двумерной теории Янга--Миллса}{224}
{1.3.5.3}{Дискретная ОМК}{229}
{1.3.6}{Общие свойства непрерывных матричных моделей}{231}
{1.3.6.1}{Интегрируемость в фазе характеров}{234}
{1.3.6.2}{Интегрируемость в фазе Концевича}{237}
{1.3.6.3}{Струнное уравнение}{239}
{1.3.6.4}{Тождества Уорда}{242}
{1.3.6.5}Тождества Уорда как рекуррентные соотношения}{247}
{Фаза характеров.}{247}
{Фаза Концевича.}{248}
(1.3.6.7}{Унитарная матричная модель}{250}
{1.3.7.1}{Унитарная модель как ОМК}{250}
{1.3.7.2}{Модель БГВ в фазе характеров}{253}
{1.3.7.3}{Универсальная модель БГВ в фазе характеров}{256}
{1.3.7.4}$Z_N^+$ как $\tau $--функция}{258}
{1.3.7.5}{(Универсальная) модель БГВ в фазе Концевича}{261}
{1.3.7.6}{$Z^-$ как $\tau $--функция}{263}
{1.4}Заключение}{265}
{Приложения 1--8}{270}
{Литература}{309}

Т. 3, ч. 2. - Изд. Регент, Казань. - 2003 г. - 274 с.

Реферат:
Серия "Лекционные заметки по теоретической и математической физике" посвящена изложению новейших достижений фундаментальной физики в форме, доступной для студентов, аспирантов и широкого круга специалистов. Третий том "Лекционных заметок" состоит из двух частей и содержит изложение лекций, прочитанных ведущими отечественными и зарубежными учеными на летних школах "Волга--11'99" (Казань, 5--16 июля 1999 г.) и "Волга--12'2000" (Казань, 22 июня -- 3 июля 2000 г.) по современным проблемам теоретической и математической физики (XI, XII Петровские чтения).

Содержание части 2 тома 3:

Глава 1.
А. В. Аминова

Группы проективных преобразований двумерных псевдоримановых многообразий{9}.

{Введение}{11}
{1.1}Псевдоримановы многообразия. Косонормальный репер{21}
{1.1.1}Расслоение линейных реперов{21}
{1.1.2}Векторные поля{24}
{1.1.3}Внешний дифференциал{25}
{1.1.4}Тензор кривизны{28}
{1.1.5}Дифференциал отображения{29}
{1.1.6}Псевдоримановы многообразия{30}
{1.1.7}Индуцированная метрика. Изометрия{31}
{1.1.8}Связность Леви--Чивита{33}
{1.1.9}Пространство постоянной кривизны{34}
{1.1.10}Структурные уравнения в косонормальном репере{35}
{1.1.11}Геодезическая. Проективные параметры Томаса{39}
{1.2}Инфинитезимальные преобразования. Производная Ли{44}
{1.2.1}1-параметрическая группа преобразований{44}
{1.2.2}Инфинитезимальное преобразование{45}
{1.2.3}Увлеченное поле и производная Ли{46}
{1.2.4}Вычисление производной Ли{48}
{1.2.5}Необходимое и достаточное условие инвариантности геометрического объекта{52}
{1.3}Проективные преобразования{53}
{1.4}Интегрирование уравнений Эйзенхарта. Двумерные $h$--пространства{61}
{1.4.1}Уравнение Эйзенхарта в косонормальном репере{61}
{1.4.2}$H$--метрики типов [11] и $[11^*]${65}
{1.4.3}$H$--метрики типа [2] {68}
{1.5}Проективные и аффинные движения двумерных псевдоримановых многообразий{72}
{1.5.1}Проективные движения на поверхностях Лиувилля{72}
{1.5.2}Проективные движения на поверхностях вращения{79}
{1.5.3}Проективные движения в $h$-пространствах типа [2]{94}
{1.6}Классификация двумерных псевдоримановых многообразий по алгебрам Ли проективных и аффинных движений{99}
{1.7}Группы проективных преобразований двумерных псевдоримановых многообразий непостоянной кривизны{105}
{1.8}Проблема Ли и дифференциальные уравнения{108}
{Заключение}{124}
{Литература}{127}

Глава 2.
Е.В. Евдокимов, А.В. Шаповалов

Геометрические методы в популяционной динамике{133}

{Введение}{134}
{2.1}Дарвиновские системы{135}
{2.2}ДС с постоянной организацией{138}
{2.3}Модель Фишера{144}
{2.4}Проективно-евклидово пространство{147}
{2.5}Интегрирование уравнений геодезических{150}
{2.6}Заключение{151}
{Литература}{155}

Глава 3.
В.Н. Шадура
Двумерная модель Изинга и $q$-деформированное грассманово поле{157}

{3.1}Введение в $q$-спинорный анализ{163}
{3.1.1}Квантовая матричная группа $SL_q(2,C)${165}
{3.1.2}Элементы дифференциального и интегрального исчисления для $q$-грассмановых спиноров{172}
{3.2}$(l,q)$-деформированное грассманово поле на решетке{177}
{3.3}Дифференциальное исчисление для $(l,q)$-грассманова поля на решетке{189}
{3.4}Элементы интегрального исчисления для решеточного $(l,q)$-грассманова поля{192}
{3.5}$q$-фермионизация двумерной модели Изинга{202} {Литература}{211}

Глава 4.
J. Klapp
Smoothed particle hydrodynamics in astrophysics and cosmology{215}

{4.2}Fundamentals of SPH{217} hydrodynamics in astrophysics and cosmology{215} {4.1}Introduction{215}
{4.3}The SPH equations{219}
{4.3.1}The continuity equation{219}
{4.3.2}The momentum equation{221}
{4.3.3}The energy equation{223}
{4.4}Magnetohydrodynamics{224}
{4.5}Implementation of the SPH code{227}
{4.6}Resolution requirements in SPH{231}
{4.7}SPMHD and the tensile instability{232}
{4.8}Final remarks{239}
{References}{241}

Глава 5.
G.S. Hall
The Lorentz group{245}

{5.1}Introduction{245}
{5.2}The Lorentz group{247}
{5.3}The Lie group structure of the Lorentz group{254}
{5.4}The connected subgroups of the Lorentz group{256}
{References{261}