При изучении гуманитарных наук характерен плюрализм мнений. Предлагаемая ниже логика позволяет полно учесть его. В некоторых логиках используются операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции, которые определены для однокомпонентных переменных, то есть когда переменная описывает только одно суждение (мнение). Значения таких переменных могут быть "истина" или "ложь" (или другие значения [1], [5]). Однако очень часто какому-нибудь факту может соответствовать несколько мнений экспертов (научных школ). Вводится n-усредняющая логика, позволяющая для каждого суждения учитывать различные, порой противоречивые мнения. Эта логика - дальнейшее развитие плюралистической логики, предложенной в [3]. В n-усредняющей логике значение утверждения A представляет собой упорядоченную последовательность из n рациональных чисел, то есть [A] = (A1,...,An). Будем считать, что положительное число означает мнение "за", причем, чем больше значение, тем большей силой оно обладает (больший авторитет). Мнение "против" характеризуется отрицательным значением (более сильное мнение будет с большим по абсолютной величине значением). Среднее значение утверждения A, общее мнение, равно avg(A)=(A1+...+An)/n. Значение усредняющего отрицания определяется с помощью равенства [not_avg A] = (A1-2*avg(A),...,An-2*avg(A)). Усредняющее отрицание обладает тем свойством, что среднее значение от отрицания противоположно по знаку среднему значению самой переменной, то есть avg (not_avg A)=-avg (A). Переменная с нулевым средним значением символизирует противоречие. Максимальное отличие между собой чисел последовательности задает степень противоречивости. Логическое отрицание not A представляет собой применение арифметического отрицания ко всем числам последовательности [not A] = (-A1,...,-An). Обобщение бинарных операций конъюнкции и дизъюнкции также строится на среднем арифметическом, и определяются операции следующим образом, левоусредняющие:
/ [A], если avg(A)>avg(B),
[A ^or_avg B] = | [A], если avg(A)=avg(B) и [A]<[B],
\ [B], иначе;
/ [A], если avg(A)<avg(B),
[A ^and_avg B] = | [A], если avg(A)=avg(B) и [A]<[B],
\ [B], иначе;
правоусредняющие:
/ [A], если avg(A)>avg(B),
[A or_avg^ B] = | [B], если avg(A)=avg(B) и [A]<[B],
\ [B], иначе;
/ [A], если avg(A)<avg(B),
[A and_avg^ B] = | [B], если avg(A)=avg(B) и [A]<[B],
\ [B], иначе,
где неравенство [A]<[B] выполняется тогда, когда первое число A меньше первого числа B, в случае если первые числа равны, то сравниваются их вторые числа и т.д. (так называемый лексикографический порядок, используемый в словарях). Усредняющие дизъюнкция и конъюнкция позволяют среди множества описываемых фактов выбирать факты, удовлетворяющие заданному условию. Показано, что для усредняющих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности для усредняющих (как слева, так и справа) конъюнкции и дизъюнкции, дистрибутивности для пары (^and_avg, or_avg) и пары (and_avg^, or_avg^), двойного отрицания для not_avg, перестановочности двух видов отрицаний: not_avg not A = not not_avg A, законы де Моргана для троек (not_avg, ^and_avg, ^or_avg), (not_avg, and_avg^, or_avg^), (not_avg, ^or_avg, ^and_avg), (not_avg, or_avg^, and_avg^), деформированные законы де Моргана: not (A ^and_avg B) = not A or_avg^ not B, not (A and_avg^ B) = not A ^or_avg not B, not (A ^or_avg B) = not A and_avg^ not B, not (A or_avg^ B) = not A ^and_avg not B. По мнению авторов использование n-усредняющей логики будет более удобным для информационно-поисковых систем, баз знаний, содержащих противоречивую информацию. При n=1 получается вариант логики Поста [4], в которой значения симметричны относительно 0. Для вычисления значений формул на основе распространенных арифметических операций (отрицание, сложение, min, max) производить их на компьютере проще, чем используя таблицы, отличные от таблиц Поста для логических связок. Особый интерес представляет собой случай при n=2 (назовем такую логику дуальной). Первая и вторая компоненты учитывают основное и оппозиционное мнения. Дуальная логика имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Дуальному утверждению P со значением (P1, P2) соответствует точка на плоскости (P1, P2). Дуальное отрицание представляет собой отражение точки относительно прямой P1+P2=0 (оси противоречий). Конъюнкции соответствует та точка, которая ближе лежит к оси противоречий, для дизъюнкции - та, которая лежит дальше. Если же точки находятся на одинаковом расстоянии, то выбирается левая - меньшая по первой координате - для левоусредняющих дизъюнкции и конъюнкции (правая - для правоусредняющих). Логическое отрицание есть отражение точки относительно начала координат. Среднее значение переменной avg (P) на константу отличается от расстояния от точки (P1, P2) до оси противоречий, и потому может характеризовать силу противоречия или степень непротиворечивости. Другие способы задания конъюнкции и дизъюнкции в рамках эвристической логики приведены в [2]. Рассмотрим геометрическую интерпретацию n-усредняющей логики (с количеством компонент равным n). Можно выполнять отражение относительно гиперплоскостей различной размерности. Отражение относительно начала координат (размерность 0) соответствует логическому отрицанию not A. Отражение относительно прямой (размерность 1) p1=...=pn, назовем ее прямой истинности, задает новую усредняющую операцию "симметрично", которая, однако, выражается через отрицания двух видов: sym_avg A = not (not_avg A). Отражение, симметричное относительно гиперплоскости p1+...+pn=0 (гиперплоскости противоречий), является усредняющим отрицанием. Результат конъюнкции и дизъюнкции определяется также как и в дуальной логике с тем отличием, что сравниваются расстояния от точек до гиперплоскости противоречий. Практическое применение n-усредняющей логики удобно, например, для анализа результатов голосования во время выборов. Пусть каждый избирательный участок описывается последовательностью n чисел (значение i-го числа при i<n равно числу проголосовавших избирателей за i-го кандидата). Последнее число равно числу избирателей, проголосовавших против всех кандидатов. Использование этого пункта с коэффициентом (-n+1) при вычислении среднего значения отражает отношение избирателей к кандидатам. Отрицательное или нулевое среднее значение сигнализирует о том, что население против того, чтобы были избраны зарегистрированные кандидаты. Возможно иное описание данных голосования. Пусть каждому кандидату соответствует последовательность чисел, количество которых равно числу избирательных участков. Тогда с помощью усредняющей дизъюнкции выдается последовательность чисел, соответствующая кандидату, за которого проголосовало большинство. Затем можно проверить важное условие, при котором суммарное число голосов "против всех" по всем избирательным участкам больше суммарного числа голосов за того кандидата, за которого проголосовало большинство (в этом случае считается, что никто не избран). Список литературы
|
